В данном курсе дается теоретическое обоснование основных теоретико-числовых положений, вырабатываются навыки решения арифметических задач, относящихся к теории делимости целых чисел, методу сравнений, решению сравнений и систем сравнений с неизвестной, использованию разложений на простые множители, числовым функциям и систематическим дробям. Также изучается теория алгебраических чисел.
Простые числа. Основная теорема арифметики и её приложения к теории делимости. Числовые функции: Эйлера, Мёбиуса. Задачи, связанные с простыми числами. Распределение простых чисел. Кольцо классов вычетов. Сравнения первой степени. Линейная система первой степени. Сравнения второй степени. Сравнения высших степеней. Символ Лежандра. Символ Якоби. Строение колец целых алгебраических чисел. Поля алгебраических чисел. Кольца целых алгебраических чисел как модули над Z. Примеры факториальных и нефакториальных колец целых алгебраических чисел. Дивизоры и идеалы. Группа идеалов. Группа дивизоров. Группа классов дивизоров (обзорно). Простейшие типы диофантовых уравнений. Определения диофантовых уравнений. Линейные диофантовы уравнения. Пифагоровы тройки. Теорема Ферма.